ベクトルと行列の基本

この記事では、「スカラー」「ベクトル」「行列」について基礎的な概念を解説します。これらは数学やプログラミング、データ分析など、多くの分野で使用される重要な概念です。

スカラーとは、1つの値（数値）で表されるものです。
スカラーは大きさ（値）のみを持ち、方向の概念はありません。

　　 $x, y, z, M, N$

特徴：
- スカラーは、日常的な数値のように単純なもの。
- 実世界の例：温度（ $25^{\circ}C$ ）、質量（ $5\ kg$ ）、時間（ $10\ s$ ）など。

ベクトルは、複数の要素を持つ値の集まり（1次元配列）を表します。
ベクトルは「大きさ」と「方向」を持ち、数学では通常、縦ベクトル（列ベクトル）または横ベクトル（行ベクトル）として表現されます。

縦ベクトルの例：

$X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$

一般的なベクトルの表記：

$Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}$

特徴：

ベクトルの要素数（次元）は、データや問題の内容に応じて異なります。
実世界の例：
- 座標（例：2次元空間では $(x, y)$ 、3次元空間では $(x, y, z)$ ）。
- 物理の速度ベクトル（例：速度の大きさと方向を同時に表す）。

行列は、スカラーやベクトルを拡張したもので、行と列を持つ2次元の配列です。
行列は、複数のベクトルをまとめて表現する場合や、複雑なデータや計算を扱う際に使用されます。

行列の例：

$X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \\ x_{31} & x_{32} \end{bmatrix}$

特徴：

行列は「行」と「列」の組み合わせから成り、行列のサイズ（次元）は「行数 × 列数」で表されます。
- 例：上記の行列 $X$ は $3 \times 2$ のサイズを持つ行列です。
実世界の例：
- データ表（行がサンプル、列が特徴量）。
- コンピュータビジョンでの画像データ（ピクセル値の行列）。

以下の図では、「スカラー」「ベクトル」「行列」を「変数か定数か」「単純か複雑か」の観点で分類しています。

横軸：値の種類
- 小（変数）⇔大（定数）
  - 「小」は可変的な値（例：変数）を意味します。
  - 「大」は固定された値（例：定数）を意味します。
縦軸：表現の形
- 細（スカラー）⇔太（ベクトル・行列）
  - 「細」は単純な形（スカラー：1つの値）を意味します。
  - 「太」は複雑な形（ベクトル・行列）を意味します。

スカラー、ベクトル、行列の関係性について

これらは次のような階層的な関係にあります

これが「スカラー」「ベクトル」「行列」の基本的な考え方です。

この数式
「スカラー ⊂ ベクトル ⊂ 行列」
には、集合の包含関係を表す記号 「⊂」（部分集合）が使われています。

数学では、記号「⊂」は 「部分集合（proper subset）」 を意味します。
A ⊂ B なら、「A は B の一部であるが、A と B は完全には一致しない」という意味になります。

この数式
$\text{スカラー} \subset \text{ベクトル} \subset \text{行列}$
は、スカラー、ベクトル、行列の関係を階層的に表現 しています。

スカラーはベクトルの一部である（スカラー ⊂ ベクトル）
- スカラー（単一の数値）は、次元が 1 のベクトルとみなすことができます。
- 例えば、スカラー x は、1次元のベクトル $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \end{bmatrix}$ として表現できます。
ベクトルは行列の一部である（ベクトル ⊂ 行列）
- ベクトル（1列または1行の数値の集合）は、行列の特殊な場合とみなせます。
- 例えば、ベクトル $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}$ は、1列の行列（n×1 の行列） として扱えます。

この式が示しているのは、

つまり、
スカラー ⊂ ベクトル ⊂ 行列 という関係は、スカラーが最も単純なデータ形式であり、そこからベクトル、行列とデータ構造が拡張されていくことを示しています。

もし厳密な数学記号を使う場合、「⊂」ではなく「⊆」（部分集合の包含記号）を使うこともあります。

ここでは、「スカラーはベクトルの特別な場合であり、完全に含まれる」と解釈しているため「⊂」を使用していますが、「⊆」でも大きな意味の違いはありません。

次はこれらを使用して具体例を記事にします。

ベクトルと行列の基本（具体例）